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Depuis décembre, nous sommes alertés par un nouveau variant du virus COVID-19, le B.1.1.7, appelé communément « variant anglais ». La détection de ce nouveau variant dans le Kent a été consécutive à une forte montée des contaminations dans cette région, ce qui a laissé supposer que cette nouvelle souche était plus contagieuse. Les recherches ultérieures ont semblé confirmer cela, en identifiant une mutation sur la protéine « spike », celle qui sert au virus à « ouvrir la porte de la cellule ». Ainsi ce variant serait entre 50% et 70% plus contagieux que la souche qui sévit depuis plus d’un an (et ses quelques mutations qui n’ont pas modifié sa nature).

Or un variant plus contagieux, ça se propage plus vite, et donc ça contamine plus de personnes plus vite. Or il se trouve que l’Angleterre a bel et bien subi un épisode épidémique tonitruant en décembre-janvier, amenant les autorités à reconfiner le pays.

Le hic, c’est que ce variant est sur notre territoire depuis au moins décembre, et que nous nous attendions donc courant janvier à subir le même type de mésaventure que nos amis anglais lorsque les chiffres sont repartis à la hausse au milieu de mois.

Le second hic, c’est que depuis… les chiffres se sont stabilisés, voire même ils ont connu une légère décrue ces dernières semaines, ce qui a surpris tous les spécialistes, ainsi que les non spécialistes comme moi. Et pourtant, la part du variant anglais dans les personnes testées positives n’a cessé de grimper. Bizarre bizarre…

Que s’est-il passé, et à quoi peut-on s’attendre ? Avant de répondre à cette question, nous allons faire de la théorie pure, afin de saisir les enjeux. Ne vous inquiétez pas, nous reviendrons à la réalité ensuite.

Posons-nous une simple question : comment évoluerait une épidémie virale avec deux souches d’un même virus : un virus « de base » et un variant 50% plus contagieux ? Pour y répondre, on va partir d’un modèle très simple :

  • Chaque virus a son propre « R » (taux de reproduction), le R du virus de base étant noté Rb et le R du virus variant étant noté Rv
  • On a Rv = 1,5 x Rb
  • La population infectée au départ est de N personnes
  • 99% des infectés au départ le sont par le virus de base, et 1% par le variant
  • Le temps moyen entre infection d’une personne et le moment où il infecte Rb personnes (ou Rv) est d’une semaine
  • Chaque semaine est numérotée par un indice n, la valeur du taux de reproduction du virus de base lors de la semaine n est noté Rb.n, la valeur du taux de reproduction du virus variant est noté Rv.n

Chaque semaine n, nous avons Rb.n fois plus de personnes infectées par le virus de base.

Par conséquent, la semaine 0, nous avons 0,99 x N personne infectées par le virus de base. La semaine 1, nous avons 0,99 x N x Rb.1 infectées. La semaine 2, nous avons 0,99 x N x Rb.1 x Rb.2 infectées…

Au final, la semaine n, nous avons 0,99 x N x Rb.1 x Rb.2 x Rb.3 x … x Rb.n-1 x Rb.n personnes infectées par le virus de base.

De même, en déroulant les infections pour le virus variant, nous allons avoir, la semaine n, 0,01 x N x Rv.1 x Rv.2 x Rv.3 x … x Rv.n-1 x Rv.n.

Or, nous avons pris comme hypothèse que pour chaque semaine p, le taux de reproduction du variant est égal à 1,5 fois le taux de reproduction du virus de base. Donc Rv.p = 1,5 x Rb.p.

Par conséquent, 0,01 x N x Rv.1 x Rv.2 x Rv.3 x … x Rv.n-1 x Rv.n = 0,01 x N x (1,5 x Rb.1) x (1,5 x Rb.2) x (1,5 x Rb.3) x … x (1,5 x Rb.n-1) x (1,5 x Rb.n) = 0,01 x 1,5 x 1,5 x … x 1,5 x N x Rb.1 x Rb.2 x Rb.3 x … x Rb.n-1 x Rb.n = 0,01 x 1,5n x N x Rb.1 x Rb.2 x Rb.3 x … x Rb.n-1 x Rb.n

De manière globale, nous avons donc, la n-ième semaine, 0,99 x N x Rb.1 x Rb.2 x Rb.3 x … x Rb.n-1 x Rb.n + 0,01 x 1,5n x N x Rb.1 x Rb.2 x Rb.3 x … x Rb.n-1 x Rb.n personnes infectées par le virus, de base ou variant.

La proportion de variant dans tous les infectés lors de la semaine n est donc :

La boîte noire du variant anglais

Qui peut être simplifié en :

La boîte noire du variant anglais

Chose tout à fait intéressante à voir, c’est que l’évolution de la part du variant dans les infections est indépendante de l’évolution du virus lui-même dans son ensemble. Que l’épidémie progresse (R supérieur à 1) ou régresse (R inférieur à 1), la progression de la part du variant dans les infections évolue toujours de la même manière. Illustration graphique :

La boîte noire du variant anglais

 Il est intéressant de regarder l’interview du professeur Fontanet dans Le Parisien, le 7 février 2021.

https://www.leparisien.fr/societe/covid-19-il-sera-majoritaire-autour-du-1er-mars-les-inquietudes-du-pr-fontanet-face-au-variant-anglais-07-02-2021-8423673.php

Il y dit ceci : « Le variant anglais était responsable de 3,3 % des nouvelles contaminations en France début janvier, et de 14 % à la fin du mois […] on atteindra 30-35 % à la mi-février […] Le variant deviendra majoritaire autour du 1er mars ».

Le professeur Fontanet a-t-il déterminé ces chiffres via sa boule de cristal ? A priori non. En effet, si on reprend l’évolution calculée ci-dessus, on obtient exactement 3,3% de part de variant lors de la semaine 3. Or, on obtient aussi 14,7% 4 semaines après (semaine 7), 28% 6 semaines après, 36,8% 7 semaines après, 46,6% 8 semaines après et 56,7% 9 semaines après.

Si on fixe la date du 1er janvier à la semaine numéro 3 de notre petit modèle, on constate alors que l’on atteint 14,7% le 28 janvier, 28% le 12 février, 36,8% le 18 février, 46,6% le 26 février et 56,7% le 5 mars, soit quasiment les mêmes valeurs que celles mentionnées par Arnaud Fontanet.

On voit donc que ce petit modèle mathématique s’approche bien de ce qui est constaté. Il aurait pu ne pas y correspondre, car il est basé sur l’idée que les deux souches sont réparties de la même manière sur le territoire (si par exemple la souche de base était présente dans les campagnes et le variant présent dans les grandes villes, on ne pourrait pas directement comparer les deux taux de reproduction), mais la comparaison avec la réalité semble le valider.

La prochaine question à se poser est la suivante : en décembre, au moment où ce variant était très minoritaire, le taux de reproduction constaté était de 1 (celui reconstitué sur les entrées en hospitalisation ou sur les entrées en réanimation). Cela veut donc dire qu’avec les températures hivernales, et avec des interactions sociales régies par la fermeture des bars et des restaurants, nous avions une dynamique épidémique qui stagnait. Or, ce nouveau variant est arrivé, avec un taux de reproduction structurellement supérieur de 50% à 70% à la souche de base. Du coup, avec ces mêmes températures hivernales et avec ces mesures gouvernementales régissant nos interactions sociales, quelle aurait dû être l’évolution de l’épidémie ?

Pour y répondre, il suffit de reprendre notre modèle, en fixant que quelle que soit la semaine, Rb.n = 1, et du coup Rv.n = 1,5.

Voici l’évolution du taux de reproduction moyen de ce modèle (calculé en divisant le nombre d’infectés la semaine considérée par le nombre d’infectés la semaine d’avant) :

La boîte noire du variant anglais

Et voici l’évolution du nombre d’infections :

La boîte noire du variant anglais

On constate que dans le cas où le taux de reproduction du virus de base serait resté égal à 1, on aurait dû constater une augmentation du taux de reproduction moyen.

Or, voici l’évolution du taux de reproduction constaté :

La boîte noire du variant anglais

Pour l’obtenir, j’ai utilisé la même méthode que celle mentionnée dans mon article sur l’évolution de l’épidémie :

http://cogito-ergo-sum.over-blog.com/2020/08/remontee-pas-remontee.html

Je divise le nombre d’entrées en réanimation le jour considéré + trois jours après + trois jours avant, et je divise ce nombre par le nombre d’infectés sur la même plage temporelle (jour considéré + trois jours après + trois jours avant) mais 7 jours avant. Comme le temps moyen entre infection et éventuelle entrée en réanimation est de 12 jours, je redécale ensuite le chiffre obtenu 12 jours avant.

Si on compare ce taux de reproduction et le taux théorique dans le cas où le taux de reproduction du virus de base était égal à 1, voici ce que ça donne :

La boîte noire du variant anglais

Pour fixer temporellement la courbe théorique afin de la comparer correctement à la courbe réelle, j’ai calé au 31 janvier le jour où la part du variant anglais a atteint 14%, pour correspondre à ce qui a été constaté (voir plus haut).

On voit déjà deux « bosses » :

  • Une qui se passe autour du 25 décembre, soit au moment où il y a eu brassage familial, occasionnant des infections supplémentaires.
  • Et une qui se passe autour du 7 janvier, soit une semaine après le jour de l’an.

La deuxième « bosse » peut s’expliquer par le fait que nous reconstituons le taux de reproduction en se basant sur les entrées en réanimation. Or les personnes qui vont en réa sont plutôt des personnes âgées. Là où Noël se passe généralement entre « jeunes et vieux », le jour de l’an se passe plutôt « entre jeunes », et ceux-ci peuvent alors infecter les « vieux » quelques jours après à un repas de famille.

Dans tous les cas, on voit une nette diminution par la suite.

Hormis ces deux événements, on voit aussi une diminution qui ramène ce taux de reproduction vers la valeur 1, ce qui veut dire qu’on ne constate pas un effet à la hausse du taux de reproduction qui serait lié à la montée en puissance du variant anglais.

Comment pourrait-on expliquer ce phénomène ? Essayons d’évaluer la part d’immunisation « naturelle » qui s’est faite au cours de cette période (on ne considèrera pas l’effet vaccinal car jusqu’à fin janvier, moins de 1% de la population avait été vaccinée, et avec seulement une dose…). Pour ce faire, on va se baser sur le nombre de décès cumulé. Comme le taux de létalité est de 0,6%, on divise le nombre de morts cumulé par 0,006 pour obtenir le nombre de personnes infectées… 21 jours avant. Pourquoi 21 jours ? Car il y a un écart de 9 jours qui est constaté entre le pic des entrées en réanimation et le pic des décès, et comme signalé précédemment, il y a un écart de 12 jours entre infection et éventuelle entrée en réanimation. Et 12 + 9, ça fait 21.

On constate alors qu’il y avait au 14 décembre (début de notre simulation) 10 800 000 personnes qui avaient été infectées par le virus. Ces personnes avaient donc été « désactivées » de la transmission (soit parce qu’elles étaient infectées et donc plus sujette… à infection, soit  parce que leur immunité acquise casse la transmission). On avait donc 10 800 000 / 67 000 000 = 16,1% de la population française qui avait été immunisée naturellement à cette époque, et le taux de reproduction était diminué par un facteur multiplicatif de (1 – 10 800 000 / 67 000 000) = 0,839.

Pour des rappels sur ces calculs, voir mon article sur le R0 :

http://cogito-ergo-sum.over-blog.com/2020/09/tout-vous-saurez-tout-sur-le-r0.html

Or, au 14 décembre, où le R valait environ 1, cette « désactivation » était déjà intégrée à ce taux de reproduction.

On va, pour calculer l’effet immunisation, calculer un facteur multiplicatif du taux de reproduction qui le ferait baisser progressivement au fur et à mesure que de plus en plus de français sont infectés.

Pour calculer le facteur « immunisation » entre le 14 décembre et le 4 février (dernier jour de notre simulation), il faut donc non pas multiplier par (1 – xp / PF), où xp est le nombre d’infectés lors du jour p et PF la population française, mais par (1 – xp / PF) / (1 – xo / PF), où xo est le nombre d’infectés au 14 décembre.

Pourquoi ? Parce que le taux de reproduction au 14 décembre vaut Rso x (1 – xo / PF) = 1, où Rso est le taux de reproduction qui serait celui s’il n’y avait pas de personnes immunisées, et le taux de reproduction lors d’un autre jour considéré vaut Rsp x (1 – xp / PF), où Rsp est le taux de reproduction qui serait celui s’il n’y avait pas de personnes immunisées lors du jour considéré.

On va donc noter Ri = (1 – xp / PF) / (1 – xo / PF) le facteur multiplicatif qui tient compte de l’immunisation depuis le 14 décembre. Voici son évolution au cours de la période :

La boîte noire du variant anglais

On voit donc qu’on a réussi à gagner 7% sur le taux de reproduction grâce à l’immunisation progressive.

Le taux de reproduction réel va donc être égal à R = Rth x Ri x Rcorr, où Rth est le taux de reproduction théorique cité au-dessus (si le R du virus de base était resté à 1, et donc avec le R du virus variant à 1,5), Ri l’effet immunisation naturelle dont nous venons de parler, et Rcorr un facteur correctif que nous allons chercher à déterminer. Nous connaissons R (le taux réel), Ri et Rth, donc Rcorr = R / Rth / Ri.

Voici l’évolution de Rcorr :

La boîte noire du variant anglais

On constate déjà une chose : on est parti de la valeur 1, pour revenir à la valeur 1. En gros, hors effets de l’immunisation naturelle et de la montée en puissance du variant, nous avons une contagiosité du virus qui est la même que mi décembre.

Par ailleurs, on retrouve nos deux « bosses » liées aux fêtes de fin d’année.

Enfin, on voit qu’après la dernière bosse, le taux de reproduction a baissé progressivement, en partant d’environ 1,1, pour arriver donc à 1. Cette baisse peut déjà être expliquée par la mise en place progressive d’un couvre-feu à 18h00, qui a fini par être généralisé le 18 janvier. La remontée chaotique mais réelle des températures a peut-être aussi participé à cette baisse du R. Voir le graphe superposé de la courbe et de la courbe de la température moyenne à Paris :

La boîte noire du variant anglais

On peut aussi rester humble et accepter que nous ne pouvons pas tout maîtriser de ce qui influence le taux de reproduction. Néanmoins, on constate avec cette petite étude que l’évolution durant cette période s’explique assez bien selon quelques principes :

  • Deux rebonds du taux de reproduction liés aux deux fêtes de fin d’année
  • Un effet haussier de 7% lié à la montée au puissance du variant anglais
  • Un effet baissier de -7% lié à l’immunisation naturelle, qui a donc compensé l’effet haussier cité ci-dessus

Que doit-on faire pour qu’il n’y ait pas de détérioration de la situation épidémique ? Pour cela, il faut que le taux de reproduction soit a minima maintenu à la valeur 1. Cette valeur fera persister le nombre quotidien d’infectés, augmentant donc progressivement l’immunisation collective. Mais cette immunisation collective ne sera pas suffisante. Pour regarder comment il faut prendre cette épidémie sujette à la montée en puissance du variant anglais, il suffit de calculer ce facteur Rcorr dont on a parlé précédemment qui serait compatible avec un taux de reproduction réel de 1, un Rth qui continue sur sa lancée théorique et un Ri qui continue sur le rythme de contamination avec un R de 1.

Cela donne cette courbe :

La boîte noire du variant anglais

On arrive à un facteur de correction minimum de 0,82, qui arriverait le 14 avril. Cela veut dire qu’on doit parvenir à gagner 18% sur le taux de reproduction. Nous avons déjà un avantage à venir : la température. Nous allons entrer dans la période printanière. Or, si on part du principe que la transmission virale aérienne est similaire à celle de la grippe, cela veut dire que le taux de reproduction est 40% plus faible en été qu’en hiver, toutes choses égales par ailleurs. On pourrait donc couper la poire en deux et estimer qu’entre l’hiver et le printemps, la chute du taux de reproduction est d’environ 20%.

Le hic, c’est que le printemps ne va pas arriver tout de suite, et qu’au niveau des températures, on n’est sûrs de rien. Pour se fixer les idées, on pourrait donc se dire que d’ici le 21 mars, on n’aura aucun effet température, et qu’on devra donc arriver à suivre la courbe du facteur de correction sans cette aide naturelle. Or, le 21 mars, ce facteur vaut 0,87. Il faut donc gagner 13%. Or, nous avons un moyen à notre disposition : les vaccins. Le 21 mars, toujours selon ce modèle, il sera censé y avoir 27% de la population naturellement immunisée. Par conséquent, il faut « désactiver » 13% de la population restante, qui serait donc de (1 – 0,27) x 67 000 000 = 49 millions de personnes. 13% de 49 millions, ça fait 6,5 millions de personnes à vacciner, et ce sur 45 jours, soit 144 444 personnes par jour, donc environ 1 million par semaine. Or nous en sommes à 110 000 personnes vaccinées par jour.

Il va donc sacrément falloir accélérer les choses pour éviter un troisième confinement, et serrer les fesses jusqu’au printemps…

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