Overblog
Editer l'article Suivre ce blog Administration + Créer mon blog

On va rouvrir les commerces, ce n’est qu’une question de temps. Tout d’abord parce que leur situation est critique pour un certain nombre d’entre eux (surtout ceux qui font une grosse partie de leur chiffre d’affaire durant le mois de décembre), et aussi parce que les fêtes de Noël arrivent et les français ont besoin de penser à autre chose.

Bien entendu, il est impensable de rouvrir sans prendre un certain nombre de précautions, sinon on repartira dans des cycles baisse / hausse / baisse… et du coup une stratégie de « stop and go » qui commencent à user tout le monde. Il faut donc que la réouverture des commerces ne s’accompagne pas d’une hausse des contaminations, tout en préservant le chiffre d’affaire de ceux-ci en cette période importante.

Il faut tout d’abord qu’on saisisse bien comment se passe les possibles contaminations dans ces commerces qui sont des lieux clos. On entend régulièrement des gens dire « mais si on reste à 1 mètre de chacun ça ira »… sauf que ce n’est pas le cas, car si la distanciation permet d’éviter les contaminations de personne à personne, elles ne permettent pas d’éviter les contaminations de masse dans le lieux clos.

Comment cela se passe ? En fait une personne contagieuse va expirer du virus dans la salle, via des gouttelettes tellement fines qu’elles se maintiennent longtemps en suspension… et circulent dans la pièce, car l’air circule toujours, et diffuse donc ces gouttelettes un peu partout, ce qui aboutit à un risque pour une personne saine de se contaminer en inhalant du virus. Il faut rajouter à cela que la personne contagieuse ne va pas rester statique dans le local commercial, et va donc aller essaimer le virus un peu partout. Cette double influence de la diffusion et du déplacement de la personne contagieuse va donc aboutir à une atmosphère potentiellement contaminante.

Pour bien saisir ce mécanisme, je vous invite à regarder cette illustration du journal El Pais, très bien faite et très didactique :

https://elpais.com/ciencia/2020-11-02/un-salon-un-bar-et-une-classe-ainsi-se-transmet-le-coronavirus-dans-lair.html

 

Comment se prémunir d’un tel risque de contamination, et quelles sont les mesures qui pourraient éviter que les commerces deviennent des lieux de contamination massive ? Comme d’habitude, si on veut raisonner, il vaut mieux mettre tout ce petit monde en équation, sinon on parlera en l’air. On va donc poser un certain nombre de grandeurs caractéristiques et essayer de calculer le risque d’être contaminé dans un local commercial.

 

Commençons en posant les paramètres suivants :

  • N : le nombre moyen de personnes présentes dans le local commercial
  • α : la proportion de personnes infectées par le virus étant dans leur période de contagion
  • e : le débit inspiré et expiré par personne (en mètre cube par heure)
  • c : la concentration de virus expirée par une personne contagieuse (quantité de virus par mètre cube d’air expiré)
  • Q : le débit d’air renouvelé dans la pièce (donc extrait de la pièce, et également introduit dans la pièce pour compenser, en mètre cube par heure)
  • C : la concentration virale dans la pièce (quantité de virus par mètre cube dans la pièce)

 

La quantité de virus entrant dans la pièce va provenir des personnes malades (N x α), et chaque personne malade va expirer une quantité de virus par heure égale à e x c. La quantité de virus entrant par heure dans la pièce va donc valoir :

Wi = N x α x e x c

 

Les virus concentrés dans la pièce vont être extraits via l’air sortant. Chaque mètre cube extrait va donc « emmener » avec lui une quantité de virus égale à C. On va supposer que l’air entrant est exempt de virus. La quantité de virus extrait de la pièce sera donc égale à :

We = Q x C

 

A l’équilibre, les « virus entrants » vont être compensés par les « virus sortant », soit :

Wi = We

 

Et donc :

N x α x e x c = Q x C

La concentration d’équilibre est donc égale à :

Le chemin de crête du déconfinement

C’est bel et bien la concentration d’équilibre, car si la concentration C est inférieure à Ceq, alors on aura un flux sortant de virus :

Q x C < Q x Ceq = N x α x e x c

 

Soit :

We < Wi

 

Donc un flux sortant inférieur au flux entrant, ce qui fera augmenter la concentration et rejoindre la concentration d’équilibre.

A contrario, si la concentration C est supérieure à Ceq, alors on aura un flux sortant de virus :

Q x C > Q x Ceq = N x α x e x c

 

Soit :

We > Wi

 

Donc un flux sortant supérieur au flux entrant, ce qui fera diminuer la concentration et rejoindre la concentration d’équilibre.

Une fois que nous avons déterminé la concentration d’équilibre dans la pièce, il faut tenir compte également d’un autre facteur influent : le temps de séjour dans cette même pièce, qu’on va noter T.

En effet, plus on reste longtemps dans la pièce, et plus on a de chances de « tomber » sur un virus. De la même manière, plus la concentration en virus est élevée, plus la chance d’en croiser un est importante.

Par conséquent, une bonne approche d’une formule de la probabilité d’attraper le virus est de considérer qu’elle est proportionnelle au produit du temps de séjour par la concentration en virus dans la pièce, soit :

Le chemin de crête du déconfinement

Où ρ est un coefficient de proportionnalité.

Que vaut le temps de séjour ? En fait, il est lui-même influencé par le nombre de personnes dans la pièce. De quelle manière ? Dans n’importe quel lieu, on calcule le nombre de personnes étant passées dans ce lieu par unité de temps (noté D, nombre de clients par heure) par la formule suivante :

D = N/T

Donc le temps de séjour dans le local sera égal à :

T = N/D

Cette formule pourrait donc être appliquée en considérant D comme l’affluence habituelle du commerce étudié. Mais c’est un peu plus compliqué que cela. En effet, on saisit bien que si on réduit le nombre de personnes présentes dans le magasin, on va baisser l’affluence, tout simplement parce que le client prend le temps qu’il lui faut pour aller chercher le bien qu’il recherche.

Pour affiner la chose, on peut diviser le local commercial en trois « compartiments » :

 

  • 1 : le « compartiment » des clients qui cherchent et collectent leurs produits, avec N1 personnes, qui y restent chacune pendant un temps T1
  • 2 : le « compartiment » des clients qui font la queue, avec N2 personnes, qui y restent chacune pendant un temps T2
  • 3 : le « compartiment » des clients qui payent à la caisse, avec N3 personnes, qui y restent chacune pendant un temps T3

Naturellement, on a :

N = N1 + N2 + N3

T = T1 + T2 + T3

 

Ainsi que les trois relations suivantes :

T1 = N1/D

T2 = N1/D

T3 = N1/D

 

puisque c’est toujours la même « affluence » D de personnes qui passent par les trois « compartiments » de manière successives.

Or, que voit-on ? Que T1 et T3 sont des temps incompressibles. On passe une durée déterminée à chercher son livre, ses pâtes, ses bananes… Et on passe une durée déterminée à payer à la caisse.

Le temps de passage complet dans le local va donc être égal à :

Le chemin de crête du déconfinement

Avec T1 et T3 fixes, et T2 variable selon le nombre de clients présents, mais qui par définition ne peut qu’être supérieur à 0.

Par conséquent, le temps de séjour dans le local va être nécessairement supérieur à T1+T3. Ce temps de séjour sera donc égal à :

Le chemin de crête du déconfinement

On a pu le constater lors des deux confinements : les commerces, petits comme grands, ont abaissé leur jauge de présence, et on pouvait remarquer qu’on faisait la queue dehors, ce qui nous faisait râler. Mais nous avions la divine surprise, une fois les courses collectées, de voir que les queues à l’intérieur étaient courtes et rapides.

Que se passe-t-il si on se retrouve avec un temps de séjour qui atteint sa limite basse ? En fait la relation globale reste la même, c’est juste que l’affluence sera bridée, et sera égale à :

Le chemin de crête du déconfinement

En fait on se retrouvera dans un commerce où on ne fait pas la queue (T2 = 0), mais où le chiffre d’affaire sera limité à cause de la jauge. Plus on baissera N, et moins l’affluence sera importante, et donc plus le chiffre d’affaire sera impacté à la baisse. On aperçoit déjà que le gouvernement doit faire attention aux mesures prises, car une jauge trop basse sur la présence autorisée de personnes dans un local aura un impact à la baisse sur le chiffre d’affaire du commerce.

La formule qui détermine donc la probabilité d’attraper le virus est la suivante :

Le chemin de crête du déconfinement

Il va falloir rajouter deux autres paramètres à cette formule : l’effet des masques. Les masques vont avoir deux fonctions : atténuer la quantité de virus expiré dans l’air par les personnes contagieuses, et diminuer la quantité de virus inspiré par les personnes saines. On va donc noter :

  • β : le coefficient multiplicateur (inférieur à 1) qui influence à la baisse la quantité de virus expiré par une personne contagieuse grâce au masque
  • γ : le coefficient multiplicateur (inférieur à 1) qui influence à la baisse la quantité de virus inspiré par une personne saine grâce au masque

Pour tenir compte de ces deux effets, on va multiplier la quantité de virus entrant dans la pièce par β, ce qui donne :

Wi = N x α x e x c x β

et on va multiplier la probabilité d’inhaler le virus par γ. Si on reprend les différentes équations, on obtient :

Le chemin de crête du déconfinement

On commence à avoir des choses intéressantes, mais on va encore travailler un peu, car nous n’avons pas tenu compte jusqu’ici d’un paramètre important : la taille du commerce. En effet, peu ou prou, si un commerce est 2 fois plus important, il va avoir un nombre de personnes présent 2 fois plus important, une affluence 2 fois plus importante, et un renouvellement d’air 2 fois plus important (il y aura 2 fois plus d’extracteurs, ou 2 fois plus d’ouvertures comme des portes ou des fenêtres).

On va donc introduire trois paramètres nouveaux :

  • S : la surface du commerce
  • H : la hauteur du commerce
  • V : le « volume » du commerce

Avec une relation assez évidente :

V = S x H

On va faire intervenir ces paramètres ainsi (en divisant judicieusement en haut et en bas par S) :

Le chemin de crête du déconfinement

Soit :

Le chemin de crête du déconfinement

On introduit les variables suivantes :

n = N/S

d = D/S

q = Q/S

Ce qui va donc donner au final :

Le chemin de crête du déconfinement

n est la jauge de clients par mètre carré, d l’affluence de clients par mètre carré, et q le taux de renouvellement d’air (s’il est égal à 2 volumes par heure, cela veut dire que l’air de la pièce est renouvelé deux fois dans l’heure, et donc qu’il est renouvelé toutes les trente minutes ; on utilise cette grandeur pour évaluer la capacité de renouvellement d'air dans une pièce).

 

Maintenant que nous avons cette formule à disposition, quelles sont les marges de manœuvre pour la réouverture des commerces ? Parlons déjà des paramètres sur lesquels on ne peut pas jouer ou peu :

  • e (le débit inspiré et expiré par personne) : … tout le monde comprendra qu’on ne peut pas influencer ce facteur
  • c (la concentration de virus expirée par une personne contagieuse) : pareil, ce paramètre est subi et dépend de l’évolution naturelle du virus
  • β (le coefficient multiplicateur qui influence à la baisse la quantité de virus expiré par une personne contagieuse grâce au masque) : ce coefficient peut difficilement être amélioré, et on voit mal un nouveau masque ultra performant pouvant être produit en masse arriver d’ici peu
  • γ (le coefficient multiplicateur qui influence à la baisse la quantité de virus inspiré par une personne saine grâce au masque) : pareil qu’au-dessus, on peut difficilement améliorer la qualité des masques grands public à moyen terme
  • H (hauteur du local) : cette hauteur est par définition fixe. Chose intéressante, elle est peu ou prou la même quel que soit le local considéré (environ 3 mètres), ce qui permet d’avoir la même formule quelque soit la taille du commerce
  • T1+T3 (temps cumulé pour un client de chercher et collecter ses produits puis plus tard de payer à la caisse hors queue) : on peut toujours presser le client, mais c’est généralement mal perçu et on ne peut pas vraiment le diminuer ; à la caisse, le caissier ne peut pas aller beaucoup plus vite

 

Restent les paramètres suivants : α (proportion de personnes infectées par le virus étant dans leur période de contagion), n (jauge de personnes par mètre carré), et q (taux de renouvellement d’air)

 

On peut considérer le paramètre sur lequel on a un peu de prise :

  • α : si on parvient à enfin faire une stratégie propre du tester / identifier / isoler, on pourrait espérer diminuer la présence des personnes porteuses du virus dans les commerces. Avec les tests antigéniques rapides, on peut espérer du mieux, et il faudrait aussi que la population joue le jeu en téléchargeant Tous_Anti_COVID pour tracer les cas contacts, et en s’isolant vraiment…

 

Et enfin les paramètres sur lesquels on peut avoir une influence importante :

  • n (jauge par mètre carré) : c’est une mesure directement applicable, mais comme on l’a vu, en dessous d’une certaine valeur, cela porte atteinte au chiffre d’affaire du commerce.
  • q (taux de renouvellement d’air) : on peut augmenter ce paramètre par diverses mesures, qu’elles soient par des extracteurs d’air ou parfois par l’ouverture des portes et des fenêtres.

 

Quel protocole appliquer donc ? Il est très difficile de répondre à cette question car nous n’avons pas tous les chiffres, mais il semble qu’on puisse trouver un chemin de crête permettant de maximiser les réouvertures de commerces tout en minimisant les réinfections et en limitant les dépenses d’aides publiques.

La jauge par mètre carré est très efficace lorsqu’elle « part de haut » (donc lorsqu’elle est telle qu’on a de la queue à la caisse), car son effet est au carré. Une division par 2 de la jauge de présence permet de diviser par 4 la probabilité d’inhaler le virus, ce qui est très appréciable. Par contre, en dessous de la valeur d x (T1+T3), l’effet est linéaire (donc bénéfique mais de manière moins spectaculaire), et surtout on va porter atteinte au chiffre d’affaire du commerce. Prenons l’exemple d’une librairie de 30 mètres carrés avec une affluence d’un client toutes les 2 minutes, un temps pour trouver son livre de 9 minutes, et un temps de passage à la caisse d’une minute, on va avoir :

D = 60 / 2 = 30 clients/heure, soit d = D / S = 30 / 30 = 1 client/heure/m2

T1+T3 = 9 + 1 = 10 minutes, soit 10/60 = 0,167 heure

Ce qui donne d x (T1+T3) = 1 x 0,167 = 0,167 clients/m2

Cela donne 1 / 0,167 = 6 m2 par client, soit 30 / 6 = 5 clients présents dans la librairie (pour les besoins de l’exercice, on va estimer que le personnel n’est pas contaminant et ne compte donc pas dans ce calcul).

Le reste des clients ferait donc la queue… dehors, où le virus est dilué par l’air circulant constamment. Resterait à mettre un espace d’un mètre entre chaque client pour éviter les contaminations de proche en proche.

La jauge avant confinement était de 4 m2/client, il semblerait que le projet de Bercy soit qu’elle passe à 8 m2/client lorsque les commerces rouvriront (on diviserait donc n par deux). Si on est toujours dans les valeurs de jauge « générant de la queue », l’effet jauge pourrait donc avoir une efficacité d'un facteur 1/4. Si on n’est pas dans cette plage de valeurs, l’effet sera moindre et on portera atteinte au chiffre d’affaire du commerce.

 

Autre exemple : une grande surface de 8 000 m2, avec 30 caisses, un temps de passage à la caisse de 5 minutes et un temps pour collecter ses courses de 30 minutes. On va avoir :

D = 60 / 5 x 30 = 240 clients/heure

T1+T3 = 30 + 5 = 35 minutes, soit 35/60 = 0,583 heure

Ce qui donne D x (T1+T3) = 240 x 0,583 = 140 clients

Cela donne 8 000 / 140 = 57 m2 par client. Les 8 m2/client seraient donc amplement suffisant, et on pourrait même les remonter assez amplement, sans porter atteinte au chiffre d'affaire mais en ayant un effet important sur la contamination.

 

Ce que l’on voit, c’est que l’on pourrait avoir des jauges différenciées selon le commerce concerné, qui n’a pas les mêmes logistiques pour le stockage, les capacités en caisses, etc… Sans porter atteinte aux chiffres d'affaires concernés, et en minimisant au mieux la probabilité d'être contaminé dans ces commerces.

 

Le renouvellement d’air est également très efficace, et peut se régler par des portes ou fenêtres ouvertes, mais… il fera froid à l’intérieur, ce qui peut tuer l’attractivité du commerce On peut aussi réchauffer l’air entrant, mais ce serait coûteux en énergie car on réchaufferait constamment un air froid venant de l’extérieur. Une solution serait de mettre en place ce qu’on appelle une VMC double flux : par l’intermédiaire d’un échangeur de chaleur, on réchauffe l’air froid entrant avec l’air chaud sortant. Il est schématisé ci-dessous. L’air intérieur est aspiré en bout de salle et l’air extérieur est injecté en entrée de salle, afin de s’assurer un bon balayage de l’air pour le renouvellement. L’air chaud intérieur est acheminé vers un échangeur de chaleur où il va céder sa chaleur à l’air frais aspiré en extérieur. On va donc injecter de l’air qui aura récupéré la chaleur de l’air éjecté et possiblement vicié.

Le chemin de crête du déconfinement

Ce dispositif pourrait être mis en place par l’intermédiaire d’incitations étatiques : un certificat de renouvellement d’air suffisant autoriserait une jauge de clients par mètre carré plus avantageuse pour le commerce, et on pourrait imaginer un abattement d’impôts pour aider le commerçant à financer. Mais on n’a plus beaucoup de temps pour en installer des centaines de milliers…

 

Quoi qu’il en soit, il va falloir jouer serré : certains magasins vont entrer dans leur plus grosse période de chiffre d’affaire, avec donc une affluence maximale, qui pourrait potentiellement être limitée par la nouvelle jauge qui va rentrer en jeu.

 

Il y a aussi des lieux particuliers comme les salons de coiffure, les cinémas et théâtres, où le remplissage est la règle pour pouvoir assurer un chiffre d’affaire suffisant (les clients rentrent et s’installent pendant la prestation).  On y reste plusieurs heures, et on n’y fait pas la queue (ou quasiment pas). L’effet jauge est donc linéaire, et pas au carré, et il porte atteinte au chiffre d'affaire. Si la jauge diminue donc l'activité, il faudrait donc des aides étatiques derrière pour compenser le manque à gagner (mais moindres que dans le cas d'un cessation d'activité complète, et avec une activité économique supérieure), à moins de pouvoir justifier d'un renouvellement d'air suffisant. On pourrait aussi imaginer que ces lieux-là incitent fortement (obligent ?) les clients à télécharger l’application Tous_anti_COVID pour assurer une très bonne traçabilité des cas contacts.

 

Reste le cas des bars, restaurants et salles de sport, où par définition on ne porte pas de masque. Même si c’est difficile à admettre, ces lieux là devraient rester fermés le temps que l’épidémie soit vraiment à un niveau beaucoup plus bas. En rouvrant le plus de commerces possibles, on pourra se donner des marges de manœuvres financières pour aider ces derniers de manière plus conséquente.

 

Dans tous les cas, l’équation n’est pas simple, et il va falloir tous y mettre du sien pour réussir ce double défi des moindres contaminations et du sauvetage de nos commerces.

Partager cet article

Repost0
Pour être informé des derniers articles, inscrivez vous :